Корень n-ой степени: определения, обозначение, примеры. Арифметический квадратный корень (8 класс) Корень равен выражению

В этой статье мы разберем основные свойства корней . Начнем со свойств арифметического квадратного корня, дадим их формулировки и приведем доказательства. После этого займемся свойствами арифметического корня n -ой степени.

Навигация по странице.

Свойства квадратного корня

В этом пункте мы разберемся со следующими основными свойствами арифметического квадратного корня :

В каждом из записанных равенств можно левую и правую части поменять местами, например, равенство можно переписать как . В таком «обратном» виде свойства арифметического квадратного корня применяются при упрощении выражений столь же часто, как и в «прямом» виде.

Доказательство первых двух свойств базируется на определении арифметического квадратного корня и на . А для обоснования последнего свойства арифметического квадратного корня придется вспомнить .

Итак, начнем с доказательства свойства арифметического квадратного корня из произведения двух неотрицательных чисел : . Для этого, согласно определению арифметического квадратного корня, достаточно показать, что - неотрицательное число, квадрат которого равен a·b . Сделаем это. Значение выражения неотрицательно как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени произведения двух чисел позволяет записать равенство , а так как по определению арифметического квадратного корня и , то .

Аналогично доказывается, что арифметический квадратный корень из произведения k неотрицательных множителей a 1 , a 2 , …, a k равен произведению арифметических квадратных корней из этих множителей. Действительно, . Из этого равенства следует, что .

Приведем примеры: и .

Теперь докажем свойство арифметического квадратного корня из частного : . Свойство частного в натуральной степени позволяет нам записать равенство , а , при этом есть неотрицательное число. Это и является доказательством.

Например, и .

Пришло время разобрать свойство арифметического квадратного корня из квадрата числа , в виде равенства оно записывается как . Для его доказательства рассмотрим два случая: при a≥0 и при a<0 .

Очевидно, что при a≥0 справедливо равенство . Также легко заметить, что при a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 и (−a) 2 =a 2 . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Приведем примеры: и .

Только что доказанное свойство квадратного корня позволяет обосновать следующий результат , где a – любое действительное число, а m – любое . В самом деле, свойство возведения степени в степень позволяет заменить степень a 2·m выражением (a m) 2 , тогда .

К примеру, и .

Свойства корня n-ой степени

Сначала перечислим основные свойства корней n-ой степени :

Все записанные равенства остаются справедливыми, если в них поменять местами левую и правую части. В таком виде они употребляются также часто, в основном при упрощении и преобразовании выражений.

Доказательство всех озвученных свойств корня основывается на определении арифметического корня n-ой степени , на свойствах степени и на определении модуля числа. Докажем их в порядке очередности.

Начнем с доказательства свойства корня n-ой степени из произведения . Для неотрицательных a и b значение выражения тоже неотрицательно, как произведение неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство . По определению арифметического корня n -ой степени и , следовательно, . Этим доказано рассматриваемое свойство корня.

Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a 1 , a 2 , …, a n выполняется и .

Приведем примеры использования свойства корня n -ой степени из произведения: и .

Докажем свойство корня из частного . При a≥0 и b>0 выполняется условие , а .

Покажем примеры: и .

Двигаемся дальше. Докажем свойство корня n-ой степени из числа в степени n . То есть, докажем, что и для любого действительного a и натурального m . При a≥0 имеем и , что доказывает равенство , а равенство очевидно. При a<0 имеем и (последний переход справедлив в силу свойства степени с четным показателем), что доказывает равенство , а справедливо в силу того, что при разговоре о корне нечетной степени мы приняли для любого неотрицательного числа c .

Приведем примеры использования разобранного свойства корня: и .

Переходим к доказательству свойства корня из корня . Поменяем местами правую и левую части, то есть, докажем справедливость равенства , которое будет означать справедливость исходного равенства. Для неотрицательного числа a корень из корня вида является неотрицательным числом. Вспомнив свойство возведения степени в степень, и воспользовавшись определением корня, можно записать цепочку равенств вида . Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.

Аналогично доказывается и свойство корня из корня из корня и т.д. Действительно, .

Например, и .

Докажем следующее свойство сокращения показателя корня . Для этого в силу определения корня достаточно показать, что есть неотрицательное число, которое при возведении в степень n·m равно a m . Сделаем это. Понятно, что если число a неотрицательное, то корень n -ой степени из числа a является неотрицательным числом. При этом , что и завершает доказательство.

Приведем пример применения разобранного свойства корня: .

Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида . Очевидно, что при a≥0 степень является неотрицательным числом. Более того, ее n -ая степень равна a m , действительно, . Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.

Например, .

Переходим дальше. Докажем, что для любых положительных чисел a и b , для которых выполняется условие a, то есть, a≥b . А это противоречит условию a

Для примера приведем верное неравенство .

Наконец, осталось доказать последнее свойство корня n -ой степени. Докажем сначала первую часть этого свойства, то есть, докажем, что при m>n и 0. Тогда в силу свойств степени с натуральным показателем должно выполняться неравенство , то есть, a n ≤a m . А полученное неравенство при m>n и 0
Аналогично методом от противного доказывается, что при m>n и a>1 выполняется условие .

Приведем примеры применения доказанного свойства корня в конкретных числах. К примеру, верны неравенства и .

Список литературы.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.

Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями - это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да...

Начнём с самой простой. Вот она:

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

$\sqrt{a}=b$, если $b^2=a$, где $a≥0,b≥0$

Примеры:

$\sqrt{49}=7$, так как $7^2=49$
$\sqrt{0,04}=0,2$,так как $0,2^2=0,04$

Как извлечь квадратный корень из числа?

Чтобы извлечь квадратный корень из числа, надо задать себе вопрос: какое число в квадрате даст выражение под корнем?

Например . Извлеките корень: а)$\sqrt{2500}$; б) $\sqrt{\frac{4}{9}}$; в) $\sqrt{0,001}$; г) $\sqrt{1\frac{13}{36}}$

а) Какое число в квадрате даст $2500$?

$\sqrt{2500}=50$

б) Какое число в квадрате даст $\frac{4}{9}$ ?

$\sqrt{\frac{4}{9}}$ $=$$\frac{2}{3}$

в) Какое число в квадрате, даст $0,0001$?

$\sqrt{0,0001}=0,01$

г) Какое число в квадрате даст $\sqrt{1\frac{13}{36}}$? Чтобы дать ответ на вопрос, нужно перевести в неправильную.

$\sqrt{1\frac{13}{36}}=\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{6}$

Замечание : Хотя $-50$, $-\frac{2}{3}$ , $-0,01$,$- \frac{7}{6}$ , тоже отвечают на поставленные вопросы, но их не учитывают, так как квадратный корень – всегда положителен.

Главное свойство корня

Как известно, в математике у любого действия есть обратное. У сложения – вычитание, у умножения – деление. Обратное действие возведению в квадрат - извлечение квадратного корня. Поэтому эти действия компенсируют друг друга:

$(\sqrt{a})^2=a$

Это и есть главное свойства корня, которое чаще всего используется (в том числе и в ОГЭ)

Пример . (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения $\frac{(2\sqrt{6})^2}{36}$

Решение : $\frac{(2\sqrt{6})^2}{36}=\frac{4 \cdot (\sqrt{6})^2}{36}=\frac{4 \cdot 6}{36}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Пример . (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения $(\sqrt{85}-1)^2$
Решение:
Ответ: $86-2\sqrt{85}$
Конечно, при работе с квадратным корнем нужно использовать и другие .

Пример . (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения $5\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{22}$
Решение:
Ответ: $220$

4 правила про которые всегда забывают
Корень не всегда извлекается

Пример : $\sqrt{2}$,$\sqrt{53}$,$\sqrt{200}$,$\sqrt{0,1}$ и т.д. – извлечь корень из числа не всегда возможно и это нормально!

Корень из числа, тоже число

Не надо относится к $\sqrt{2}$, $\sqrt{53}$, как-то особенно. Это числа, да не целые, да , но не все в нашем мире измеряется в целых числах.

Корень извлекается только из неотрицательных чисел

Поэтому в учебниках вы не увидите вот таких записей $\sqrt{-23}$,$\sqrt{-1}$,и т.п.

Давайте возьмем число 9. Девять делится на 3 и результат равен делителю 3 => 9/3 = 3, то есть 3.3 = 9 или 3 2 = 9.Давайте возьмем другое число, например 27, 27 = 3.3.3 = 3 3 . Таким образом мы обнаружили, что 9 и 27 на самом деле являются числом 3 со степенью 2 и 3.

В общем, арифметический корень (далее - корень) это функция, находящая делитель числа, который, будучи возведенным в степень корня, дает нам в результате снова это число. Иногда, этот делитель не является рациональным числом. В принципе корень - это обратная функция возведения в степень. Но даже может быть записан с помощью степени. Так, в нашем случае квадратный корень из 9 есть 3, √9 и кубический корень 27 есть 3 = 3 √ 27

Если a есть положительным действительным числом, тогда уравнение x 2 = a имеет две решения: x = +√a or x = -√a .

$\sqrt{x}$ = $\sqrt{x}$

Если a есть действительным числом, тогда уравнение x 3 = a имеет только одно решение => x = 3 √ a . С помощью уравнений, приведенных выше, решаются квадратные и кубические уравнения. Корень может быть записан с помощью степени, используя вышеприведенное правило:

$x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m$

Формула арифметического корня

Если n четно :
$\sqrt[n]{x^n}=x$

Если n нечетно :
$\sqrt[n]{x^n}=|x|$

Пример: $\sqrt{x^3}=x$, но $\sqrt{x^4}=|x|$

$\sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$

Доказательство: Давайте возтмем n √ ab которое равно (ab) 1/n , и которое, используя основную формулу дл степени, можно записать как a 1/n .b 1/n , или n √ a n √ b

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Доказательство: n √ a/b = (a/b) 1/n и которое, используя основную формулу для степени, можно записать как a 1/n /b 1/n , or n √ a / n √ b

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt{a}$

Доказательство: если есть n √ m √ a которое равно n √ a 1/m , и которое равно (a 1/m) 1/n и которое, используя основную формулу для степени, можно записать как a 1/(m.n) , or n . m √ a

Муж. корешек, шечек, коренек ·умалит. корнишка презрительное, корнища увеличительное, подземная часть всякого растения. У деревьев различают становой и боковые корни, а при них корешки и мелкие мочки. вбирающие влагу. Корень бывает: луковичный,… … Толковый словарь Даля

КОРЕНЬ, рн, мн. рни, рней, муж. 1. Подземная часть растения, служащая для укрепления его в почве и всасывания из неё воды и питательных веществ. Главный, боковой, придаточный к. Воздушные корни (у лиан и нек рых других растенийвысоко над землёй … Толковый словарь Ожегова

- (radix), один из основных вегетативных органов листостебельных растений, служащий для прикрепления к субстрату, поглощения из него воды и питат. веществ. Филогенетически К. возник позднее, чем стебель, и, вероятно, произошёл от корнеподобных… … Биологический энциклопедический словарь

См. начало, причина, происхождение вырывать с корнем, пускать корни... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. корень начало, причина, происхождение; радикал; корешок, стержень,… … Словарь синонимов

корень - КОРЕНЬ, рня, м. 1. Друг, приятель. 2. Мужской половой орган Маленький мужчина растет в корень корень Крепкий корень старый, верный друг. 1. возм. контаминация с кореш … Словарь русского арго

В математике..1) корень степени n из числа a всякое число x (обозначаемое, a называется подкоренным выражением), n я степень которого равна a (). Действие нахождения корня называется извлечением корня2)] Корень уравнения число, которое после… …

Первичный корень сохраняется у многих хвойных на всю жизнь и развивается в виде мощного стержневого корня, от которого отходят боковые. Реже, как у некоторых сосен, первичный корень недоразвивается и заменяется боковыми. Кроме длинных… … Биологическая энциклопедия

- (математическое), 1) Корень степени n из числа a Число, n я степень которого равна заданному числу a (обозначается; a называется подкоренным выражением). Действие нахождения корня называется извлечением корня. 2) Решение уравнения значение… … Современная энциклопедия

В биологии один из основных органов растений, служащий для укрепления в почве, поглощения воды, минеральных веществ, синтеза органических соединений, а также для выделения некоторых продуктов обмена. Корень может быть местом хранения запасных… … Большой Энциклопедический словарь

В лингвистике непроизводная (простая) основа слова, не включающая никаких аффиксов. Корень лексическое ядро слова, т. е. несет его основное вещественное значение … Большой Энциклопедический словарь

Книги

Корень всех зол , Уильямс Р.. Дональд Бейли – не трудный подросток, а просто-напросто несчастливый. Совершив непоправимый поступок, он потерял доверие друзей, любовь матери и собственный покой. Что ему осталось? Бежать от…

Корень проблемы , Генри Р. Брандт. Автор этой книги предлагает очень простую Библейскую истину избавления от всяческих душевных расстройств: осознание греха, как первопричины всех проблем и раскаяние в соделанных грехах. В…